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f4,,a-maths微分應用
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一實心直立圓柱的長度為e米,底半徑為r米,其長度及橫截面周界的和為2米。 a.求圓柱體積的極大值。 依題意 e + 2 π r = 2 e = 2 - 2 π r 它的體積 V 為 V = e (π r2) V = (2 - 2 π r)(π r2) V = 2π r2 - 2 π2 r3 dV / dr = 4π r - 6π2 r2 因有極大值，所以 dV / dr = 0 4π r - 6π2 r2 = 0 r = 2/(3π) V 的極大值為 V = 2π r2 - 2 π2 r3 V = 2π (2/(3π))2 - 2 π2 (2/(3π))3 V = 8/(27π) b.設圓柱的總表面面積為S平方米 i.以r表S 總面積 = 上下兩底面積 + 側面積 S = 2π r2 + 2π r e S = 2π r2 + 2π r (2 - 2 π r) S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2 ii,求r的值,使S為極大 S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2 dS / dr = 4π r + 4π - 8π2 r 因有極有值所以 dS / dr = 0 4π r + 4π - 8π2 r = 0 r = 1 / (2π – 1) r = 0.189時 S 為極值 iii.設0.15≦ r ≦ 0.25 求r值的範圍,使S值 因 r = 0.189 時 S 為極大值 i.遞增 若以 0.15 ≦ r ≦ 1 / (2π – 1) 時為遞增 ii.遞減 若以1 / (2π – 1) ≦ r ≦ 0.25 時為遞減 由此求S的最小值 當 r = 0.15 S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2 S = 2π (0.15)2 + 4π (0.15) - 4 π2 (0.15)2 S = 1.138 當 r = 0.25 S = 2π (0.25)2 + 4π (0.25) - 4 π2 (0.25)2 S = 1.067 所以在0.15≦ r ≦ 0.25 的範圍內 S 的最小值為當 r = 0.25 Smin = 1.067
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一實心直立圓柱的長度為e米,底半徑為r米,其長度及橫截而周界的和為2米。 a.永圓柱體積的極大值。 b.設圓柱的總表面面積為S平方米 I.以r表S ii,求r的值,使S為極大 iii.設0.15<=R<=0.25 求R值的範圍,使S值 I.遞增 II.遞減 由此求S的最小值最佳解答:
一實心直立圓柱的長度為e米,底半徑為r米,其長度及橫截面周界的和為2米。 a.求圓柱體積的極大值。 依題意 e + 2 π r = 2 e = 2 - 2 π r 它的體積 V 為 V = e (π r2) V = (2 - 2 π r)(π r2) V = 2π r2 - 2 π2 r3 dV / dr = 4π r - 6π2 r2 因有極大值，所以 dV / dr = 0 4π r - 6π2 r2 = 0 r = 2/(3π) V 的極大值為 V = 2π r2 - 2 π2 r3 V = 2π (2/(3π))2 - 2 π2 (2/(3π))3 V = 8/(27π) b.設圓柱的總表面面積為S平方米 i.以r表S 總面積 = 上下兩底面積 + 側面積 S = 2π r2 + 2π r e S = 2π r2 + 2π r (2 - 2 π r) S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2 ii,求r的值,使S為極大 S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2 dS / dr = 4π r + 4π - 8π2 r 因有極有值所以 dS / dr = 0 4π r + 4π - 8π2 r = 0 r = 1 / (2π – 1) r = 0.189時 S 為極值 iii.設0.15≦ r ≦ 0.25 求r值的範圍,使S值 因 r = 0.189 時 S 為極大值 i.遞增 若以 0.15 ≦ r ≦ 1 / (2π – 1) 時為遞增 ii.遞減 若以1 / (2π – 1) ≦ r ≦ 0.25 時為遞減 由此求S的最小值 當 r = 0.15 S = 2π r2 + 4π r - 4 π2 r2 S = 2π (0.15)2 + 4π (0.15) - 4 π2 (0.15)2 S = 1.138 當 r = 0.25 S = 2π (0.25)2 + 4π (0.25) - 4 π2 (0.25)2 S = 1.067 所以在0.15≦ r ≦ 0.25 的範圍內 S 的最小值為當 r = 0.25 Smin = 1.067
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