close
標題:
何謂無理數？
發問:
何謂無理數？請詳細說明
最佳解答:
其他解答:
無理數 (Irrational Number) 不能以一個簡單分數來表示的數，叫做無理數。 例如：p、log 2、 ?2 等都是無理數。 人類對數的認識過程與數系建立的歷程大體是一致的，這一過程可以表示為： 自然數，正分數，無理數，零，負數。 數系的進一步發展，便是人們對複數的認識和複數概念的建立。實際上，在早期的丟番圖和印度的婆什迦羅接觸到對負數開平方和問題時，就已經見識到了複數。 可以說對複數的認識是人類對數的認識的又一個里程碑。在達到這個里程碑之前，對數的探索歷程可以說已經歷進坎坷。回顧負數、無理數等的產生歷史，我們便深感科學每當進一步的艱辛。我們知道在歐洲負數的概念是12世紀末就已經形成了，當時意大利數學家斐波那契(Fibonacci)對負數的概念作出了正確的解釋。但直到18世紀，歐洲仍有一些學者認為負數是「荒唐、無稽的」。他們說：零表示的是「甚麼也沒有」，那麼負數，即小於零的數是甚麼東西呢？難道會有甚麼東西比「甚麼也沒有」還要小嗎？ 如果說負數遭到的命運是不公正的話，無理數的出現則更是伴隨著災難降臨於發現它的人。人類認識無理數的過程，要比想像的更漫長和曲折，從希伯斯至基礎理論基本完成止，整整經歷了20多個世紀。 正當人們依舊困惑於負數和無理數的候，又一種一種披著極為神秘面紗的新數，闖進了數學領地。 公元1484年，法國數學家舒開(Chequet)在一本書中，把方程4+x2=3x的根寫為 儘管他一再聲明這是不可能的，但畢竟是第一次形式上出現了負數的平方根。 第一個正視負數平方根的是6世紀意大利的「怪杰」卡當(Cardano)。他於1545年在討論了這樣一個問題，若將10分為兩部份，而使兩者之積等於40時，列出方程： x(10-x)=40 儘管這個問題沒有實數解，然而，假如把答案寫成5-√-15和5+√-15這樣兩個令人詫異的表示方法時，就能滿足題目的要求。卡當認為這個結果是正確無誤的，但他卻不能給予解釋。他只作出了下列驗證： (5+√-15)+(5-√-15)=5+5=10, (5+√-15) x (5-√-15) =5 x 5 -(√-15)2 =25-(-15) =40 雖然卡當本人懷疑這一運算的合理性，但他終究是第一個認真對待數學領地這一不速之客的勇士。後來在他用三次方程的公式求解時，又遇到了負數開平方的問題。例如， x3=15x+4， 由公式得出。 但原方程有一實數根，但另外兩個根仍令卡當極為困惑，甚至他認為出現這種情況可能是虛構的。 與卡當同時期的數學家邦貝利(Bomberli)卻承認數-9-243/27是一個「實實在在」數，但他認為這種數是沒有甚麼用處的。卡當之後，數學家們接觸這種「虛幻」的數越來越多。大約100年之後，公元1637年，笛卡兒在他的《幾何學》一書中，給這種虛幻數起了一個「虛數」的名字，但仍摒棄方程的虛根。牛頓和萊布尼茲都不承認複數的意義，認為複數是「介於存在與不存在之間的兩棲物」。又大約過了140年，大數學家歐拉開始用i來表示√-1。 最初，虛數給人的感覺是虛無漂渺的，在數軸上找不郅它的位置。一位富有想像力的英國教授瓦里斯曾給虛數一個奇妙的解釋：假定某人久地10畝，即他有-10畝地，若這-10畝地又恰好是一個正方形，那麼它的邊長不就是√-10 i嗎？ 對虛數的認識是直到18世紀人們對複數有了明確的認識之後才逐漸成熟起來，這是隨著對微積分研究的深入，人們首先認識到了複數的性質和意義。挪威數學家韋塞爾(Wessel)於1788年在他的《關於方向的分析表示：一個嘗試》的論文中，在用幾何方法表示有向線段以及它們的運算時，引進了一個虛軸，以√-1作為一個單位線段OP表示複數a+b√-1。韋塞爾用幾何術語定義的複數以及平面向量的運算法則直到今天仍在運用。瑞士數學家阿爾幹(Argand)於1806年在《試論幾何作圖中虛量的表示法》一文中，提出了虛數的幾何表示法。他假設√-1 x √-1=1，從而√-1是1和√-1的比例中項，然後用比例中項的作圖?法得√-1的幾何表示法。 1801年，高斯系統地使用了符號i，並把它與實數的混成物a+bi(a,b為實數)稱為複數。在證明中，他假定了直角坐標平面上的點與複數是一一對應的，他將表示複數的平面叫做複平面，其中棋軸叫做實軸，表示實數，豎軸叫做虛軸，表示純虛數。之後他利用複數的幾何表示法證明了複數的幾何加法與乘法，從此，複數廣泛地進入了數學領域。|||||無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他以幾何方法證明 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 不是無理數，後來希伯斯將無理數透露給外人——此知識外泄一事觸犯學派章程——因而被處死，其罪名等同於「瀆神」。 目錄[隐藏] 1 根號2 1.1 常見的證明 1.2 另一個證明 2 不知是否無理數的數 3 無理數集的特性 4 外部鏈結 [編輯] 根號2 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 是最早被發現的無理數。 人們發現了許多方法證明 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 是無理數。以下是反證法的證明。 [編輯] 常見的證明 假設 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/1/f/e1f78b21e8999756170a77aa6cbd4a9d.png 。 將 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/5/b/b5b90581acae8ebfdabb91d074b0047c.png 所以 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/1/4/4141ad6fec5909b68a025637e1b9ea7d.png ，a2 = 2b2 因為2b2必為偶數，故a2亦是偶數 故a為偶數（奇數的平方不會是偶數） 所以必有一整數k，使得a = 2k 將(3)的式子代入(6)： 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/8/f/88f964400f83d44d4f70cbf26d1d6d97.png 化簡得b2 = 2k2 因為2k2是偶數，所以b2是偶數，因此b亦是偶數 所以a和b都是偶數，跟 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/d/4/bd4e4fc402cfad741450ee345fef4a60.png 是最簡分數的假設矛盾。 因為我們發現矛盾，所以(1)的假設錯誤， 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 不是有理數，即是無理數。 這個證明可推廣至證明任何自然數的平方根是否是無理數。 [編輯] 另一個證明 另外一個 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 是無理數的反證法證明比較少人知道，證明方法也相當漂亮。 假設 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485f9bca257cf687f4972497f6bf63c1.png ，其中m, n為正整數。 從 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/7/d/a7d518b1839b46991aff3b09f519ecd9.png }-。 因為 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/0/7/807b32017879a082f70915b1e1193f08.png }-，所以m - n < n 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485f9bca257cf687f4972497f6bf63c1.png 是最簡分數的假設矛盾。 從一個直角邊為n，斜邊為m的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為m - n，斜邊為2n - m的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。 [編輯] 不知是否無理數的數 對非零整數 m 及 n，不知道 mπ + ne 是否無理數。 我們亦不知道 2e, πe, 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/1/2/812448e14a0d6622755255cb82e612de.png 或 歐拉-馬歇羅尼常數 γ 是否無理數。 [編輯] 無理數集的特性 無理數集是不可數集（因有理數集是可數的而實數集是不可數的）。無理數集是個不完備的拓撲空間，它是與所有正數數列的集拓撲同構的，當中的同構映射是無理數的連分數開展。 因而Baire category theorem可以應用在無數間的拓撲空間上。0D7DAC4E6DF60DFA
何謂無理數？
發問:
何謂無理數？請詳細說明
最佳解答:
- 有關城巴10號線
- msn9.0(最新版本)打「alt+數字」既符號出現問題
- 巴士問題..唔知坐咩車-o-
- Physics~~~ FUN~FUN~FUN~~~
- F.2 Percentages
- 吳尊結左婚,仲有個女---
- 邊間盤菜好食 + 抵食-
- 有關加近視補散光度數配隱形眼鏡問題
- Bk5_Mock_6_E
- 有關符號問題(趕趕趕趕趕趕......)
此文章來自奇摩知識+如有不便請留言告知
當一數字不能用兩個整數的比來表示，便稱為無理數（irrational number）。它們也是實數的一部份。 無理數的發現是古希臘人對數學的巨大貢獻。在公元前500年左右，古希臘人如畢達哥拉斯學派的成員認為宇 宙的一切現象，都能歸結為整數或整數之比。可是，在公元前5世紀，該學派的成員希帕蘇斯發現正方形的對角線 與其一邊之比不能用兩個整數之比來表達。這個發現打破了該學派的信念，使學派的成員驚慌不安。據傳，希帕蘇 斯因此而被拋入大海。他把這種不能用兩個整數的比來表達的比稱為無公度比。在希臘文的意思是「不能表達的比 」或「沒有比」。 後來，該學派的泰奧多勒斯（約前470－？，是柏拉圖學派的先驅）又證明了√３、√５、√７、……√１７ 與１無公度。無公度比即現稱的無理數。 雖然古希臘人發現無理數，他們並不接受這個新概念。例如攸多克薩斯（前408至前355）通過引入「量」的概 念，用幾何方法處理無公度比。歐幾里得在他的《幾何原本》第五卷也借用了攸多克薩斯的材料，可惜沒有引入無 理數的概念，影響了代數的理論發展。直至19世紀，通過戴德金（1831－1916），康托爾（1829－1920）等人的工 作，才有嚴格的無理數論的建立。 印度數學亦遇到無理數的問題，不過他們當作有理數來看待，例如 其一般形式為，稱為婆什迦羅等式，是印度數學家婆什迦羅（1114－1185？）在12世紀 提出的。 而無理數一詞則是後人沿用不承認無理數是數的著作，西方譯為irrational number，我國徐光啟、李善蘭以 音意合譯成無理數（他們把拉丁文ratio音譯成「理」），這種譯法後來亦傳到日本。 參考資料 http://www.edp.ust.hk/math/history/5/5_3/5_3_14.htm其他解答:
無理數 (Irrational Number) 不能以一個簡單分數來表示的數，叫做無理數。 例如：p、log 2、 ?2 等都是無理數。 人類對數的認識過程與數系建立的歷程大體是一致的，這一過程可以表示為： 自然數，正分數，無理數，零，負數。 數系的進一步發展，便是人們對複數的認識和複數概念的建立。實際上，在早期的丟番圖和印度的婆什迦羅接觸到對負數開平方和問題時，就已經見識到了複數。 可以說對複數的認識是人類對數的認識的又一個里程碑。在達到這個里程碑之前，對數的探索歷程可以說已經歷進坎坷。回顧負數、無理數等的產生歷史，我們便深感科學每當進一步的艱辛。我們知道在歐洲負數的概念是12世紀末就已經形成了，當時意大利數學家斐波那契(Fibonacci)對負數的概念作出了正確的解釋。但直到18世紀，歐洲仍有一些學者認為負數是「荒唐、無稽的」。他們說：零表示的是「甚麼也沒有」，那麼負數，即小於零的數是甚麼東西呢？難道會有甚麼東西比「甚麼也沒有」還要小嗎？ 如果說負數遭到的命運是不公正的話，無理數的出現則更是伴隨著災難降臨於發現它的人。人類認識無理數的過程，要比想像的更漫長和曲折，從希伯斯至基礎理論基本完成止，整整經歷了20多個世紀。 正當人們依舊困惑於負數和無理數的候，又一種一種披著極為神秘面紗的新數，闖進了數學領地。 公元1484年，法國數學家舒開(Chequet)在一本書中，把方程4+x2=3x的根寫為 儘管他一再聲明這是不可能的，但畢竟是第一次形式上出現了負數的平方根。 第一個正視負數平方根的是6世紀意大利的「怪杰」卡當(Cardano)。他於1545年在討論了這樣一個問題，若將10分為兩部份，而使兩者之積等於40時，列出方程： x(10-x)=40 儘管這個問題沒有實數解，然而，假如把答案寫成5-√-15和5+√-15這樣兩個令人詫異的表示方法時，就能滿足題目的要求。卡當認為這個結果是正確無誤的，但他卻不能給予解釋。他只作出了下列驗證： (5+√-15)+(5-√-15)=5+5=10, (5+√-15) x (5-√-15) =5 x 5 -(√-15)2 =25-(-15) =40 雖然卡當本人懷疑這一運算的合理性，但他終究是第一個認真對待數學領地這一不速之客的勇士。後來在他用三次方程的公式求解時，又遇到了負數開平方的問題。例如， x3=15x+4， 由公式得出。 但原方程有一實數根，但另外兩個根仍令卡當極為困惑，甚至他認為出現這種情況可能是虛構的。 與卡當同時期的數學家邦貝利(Bomberli)卻承認數-9-243/27是一個「實實在在」數，但他認為這種數是沒有甚麼用處的。卡當之後，數學家們接觸這種「虛幻」的數越來越多。大約100年之後，公元1637年，笛卡兒在他的《幾何學》一書中，給這種虛幻數起了一個「虛數」的名字，但仍摒棄方程的虛根。牛頓和萊布尼茲都不承認複數的意義，認為複數是「介於存在與不存在之間的兩棲物」。又大約過了140年，大數學家歐拉開始用i來表示√-1。 最初，虛數給人的感覺是虛無漂渺的，在數軸上找不郅它的位置。一位富有想像力的英國教授瓦里斯曾給虛數一個奇妙的解釋：假定某人久地10畝，即他有-10畝地，若這-10畝地又恰好是一個正方形，那麼它的邊長不就是√-10 i嗎？ 對虛數的認識是直到18世紀人們對複數有了明確的認識之後才逐漸成熟起來，這是隨著對微積分研究的深入，人們首先認識到了複數的性質和意義。挪威數學家韋塞爾(Wessel)於1788年在他的《關於方向的分析表示：一個嘗試》的論文中，在用幾何方法表示有向線段以及它們的運算時，引進了一個虛軸，以√-1作為一個單位線段OP表示複數a+b√-1。韋塞爾用幾何術語定義的複數以及平面向量的運算法則直到今天仍在運用。瑞士數學家阿爾幹(Argand)於1806年在《試論幾何作圖中虛量的表示法》一文中，提出了虛數的幾何表示法。他假設√-1 x √-1=1，從而√-1是1和√-1的比例中項，然後用比例中項的作圖?法得√-1的幾何表示法。 1801年，高斯系統地使用了符號i，並把它與實數的混成物a+bi(a,b為實數)稱為複數。在證明中，他假定了直角坐標平面上的點與複數是一一對應的，他將表示複數的平面叫做複平面，其中棋軸叫做實軸，表示實數，豎軸叫做虛軸，表示純虛數。之後他利用複數的幾何表示法證明了複數的幾何加法與乘法，從此，複數廣泛地進入了數學領域。|||||無理數，即非有理數之實數，不能寫作兩整數之比。若將它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，並且不會循環。 常見的無理數有大部分的平方根、π和e（其中後兩者同時為超越數）等。無理數的另一特徵是無限的連分數表達式。 傳說中，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他以幾何方法證明 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 不是無理數，後來希伯斯將無理數透露給外人——此知識外泄一事觸犯學派章程——因而被處死，其罪名等同於「瀆神」。 目錄[隐藏] 1 根號2 1.1 常見的證明 1.2 另一個證明 2 不知是否無理數的數 3 無理數集的特性 4 外部鏈結 [編輯] 根號2 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 是最早被發現的無理數。 人們發現了許多方法證明 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 是無理數。以下是反證法的證明。 [編輯] 常見的證明 假設 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/1/f/e1f78b21e8999756170a77aa6cbd4a9d.png 。 將 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/5/b/b5b90581acae8ebfdabb91d074b0047c.png 所以 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/1/4/4141ad6fec5909b68a025637e1b9ea7d.png ，a2 = 2b2 因為2b2必為偶數，故a2亦是偶數 故a為偶數（奇數的平方不會是偶數） 所以必有一整數k，使得a = 2k 將(3)的式子代入(6)： 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/8/f/88f964400f83d44d4f70cbf26d1d6d97.png 化簡得b2 = 2k2 因為2k2是偶數，所以b2是偶數，因此b亦是偶數 所以a和b都是偶數，跟 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/b/d/4/bd4e4fc402cfad741450ee345fef4a60.png 是最簡分數的假設矛盾。 因為我們發現矛盾，所以(1)的假設錯誤， 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 不是有理數，即是無理數。 這個證明可推廣至證明任何自然數的平方根是否是無理數。 [編輯] 另一個證明 另外一個 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/e/f/5/ef5590434a387b3c4427e09d5b08baaf.png 是無理數的反證法證明比較少人知道，證明方法也相當漂亮。 假設 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485f9bca257cf687f4972497f6bf63c1.png ，其中m, n為正整數。 從 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/a/7/d/a7d518b1839b46991aff3b09f519ecd9.png }-。 因為 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/0/7/807b32017879a082f70915b1e1193f08.png }-，所以m - n < n 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/4/8/5/485f9bca257cf687f4972497f6bf63c1.png 是最簡分數的假設矛盾。 從一個直角邊為n，斜邊為m的等腰直角三角形，可以用尺規作圖作出直角邊為m - n，斜邊為2n - m的等腰直角三角形。這是古希臘幾何學家的作圖證明方法。 [編輯] 不知是否無理數的數 對非零整數 m 及 n，不知道 mπ + ne 是否無理數。 我們亦不知道 2e, πe, 圖片參考：http://upload.wikimedia.org/math/8/1/2/812448e14a0d6622755255cb82e612de.png 或 歐拉-馬歇羅尼常數 γ 是否無理數。 [編輯] 無理數集的特性 無理數集是不可數集（因有理數集是可數的而實數集是不可數的）。無理數集是個不完備的拓撲空間，它是與所有正數數列的集拓撲同構的，當中的同構映射是無理數的連分數開展。 因而Baire category theorem可以應用在無數間的拓撲空間上。0D7DAC4E6DF60DFA
文章標籤
全站熱搜
留言列表
